Question

如图，等边△ABC的边长为6，面积为9

3

，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点．若AE=3，则EM+CM的最小值为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,等边三角形的性质

专题：

分析：要求EM+CM的最小值，需考虑通过作辅助线转化EM，CM的值，从而找出其最小值求解．

解答：解：连接BE，与AD交于点M．
∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴B、C关于AD对称，
∴BE就是EM+CM的最小值．
取CE中点F，连接DF．
∵等边△ABC的边长为6，面积为9

3

，
∴AD=3

3

∵AE=2，
∴CE=AC-AE=6-2=4，
∴CF=EF=AE=2，
又∵AD是BC边上的中线，
∴DF是△BCE的中位线，
∴BE=2DF，BE∥DF，
又∵E为AF的中点，
∴M为AD的中点，
∴ME是△ADF的中位线，
∴DF=2ME，
∴BE=2DF=4ME，
∴BM=BE-ME=4ME-ME=3ME，
∴BE=

4

3

BM．
在直角△BDM中，BD=

1

2

BC=3，DM=

1

2

AD=

3 3

2

，
∴BM=

BD2+DM2

=

3

2

7

，
∴BE=

4

3

BM=2

7

．
∵EM+CM=BE
∴EM+CM的最小值为2

7

．
故答案为2

7

．

点评：考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是本题的关键．