Question

20．如图中矩形ABCD的四个顶点位于双曲线y=$\frac{1}{x}$上，且S_ABCD=2$\sqrt{5}$，则x_A=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• B． $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 设A（x，$\frac{1}{x}$），根据题意C（-x，-$\frac{1}{x}$），D（$\frac{1}{x}$，x），根据矩形的面积公式得到AD•CD=2$\sqrt{5}$，进而得到$\sqrt{（{x-\frac{1}{x}）}^{2}+（\frac{1}{x}-x）^{2}}$•$\sqrt{（x+\frac{1}{x}）^{2}+（x+\frac{1}{x}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，解得x²=$\frac{\sqrt{5}+3}{2}$，求得x₁=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，即可求得x_A．

解答 解：设A（x，$\frac{1}{x}$），
根据题意C（-x，-$\frac{1}{x}$），D（$\frac{1}{x}$，x），
∵S_矩形ABCD=2$\sqrt{5}$，
∴AD•CD=2$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{（{x-\frac{1}{x}）}^{2}+（\frac{1}{x}-x）^{2}}$•$\sqrt{（x+\frac{1}{x}）^{2}+（x+\frac{1}{x}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{2}$（x-$\frac{1}{x}$）•$\sqrt{2}$（x+$\frac{1}{x}$）=2$\sqrt{5}$，
解得：x²=$\frac{\sqrt{5}+3}{2}$或x²=$\frac{\sqrt{5}-3}{2}$（不合题意舍去），
∴x₁=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，x₂=$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
∵点A在第一象限，
∴x_A=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故选A．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称；反比例函数的比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积，三角形面积公式以及点到直线的距离公式等知识点．