Question

11．如图，△ABC中，∠B=90°，∠C=60°，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DF⊥AC于F，E在AB上，且DE=AE，连结EF．若AB=4+2$\sqrt{3}$，则EF的长为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 过点F作FM⊥BC于点M，作FN⊥AB于点N，则四边形FNBM为长方形，由∠B=90°、∠C=60°、AB=4+2$\sqrt{3}$可求出AC、BC的长度，根据角平分线的性质可得出AF、CF的长度以及DF=BD，通过解Rt△CFD和Rt△CFD可得出FM、CM、BD的长度，设BE=x，则DE=AE=4+2$\sqrt{3}$-x，在Rt△EBD中利用勾股定理可求出x的值，从而得出EN的长度，再在Rt△FEN中利用勾股定理可求出EF的长度．

解答 解：过点F作FM⊥BC于点M，作FN⊥AB于点N，则四边形FNBM为长方形，如图所示．
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=60°，AB=4+2$\sqrt{3}$，
∴AC=4+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，BC=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∵AD平分∠BAC，
∴AF=AB=4+2$\sqrt{3}$，BD=FD，
∴CF=AC-AF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
在Rt△CFM中，∠C=60°，∠CMF=90°，CF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴CM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，FM=1．
同理，可求出：BD=DF=2．
设BE=x，则DE=AE=4+2$\sqrt{3}$-x．
在Rt△EBD中，DE²=BE²+BD²，
即（4+2$\sqrt{3}$-x）²=x²+2²，
解得：x=2$\sqrt{3}$，
∴BE=2$\sqrt{3}$，EN=BE-BN=2$\sqrt{3}$-1．
在Rt△FEN中，∠ENF=90°，EN=2$\sqrt{3}$-1，FN=BC-CM=2+$\sqrt{3}$，
∴EF=$\sqrt{E{N}^{2}+F{N}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
故选D．

点评 本题考查了角平分线的性质、含30度角的直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形找出BE、BC、CM、FN的值是解题的关键．