Question

6．如图所示，D是Rt△ABC斜边上的一点，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE=DF．若AD=3，DB=4，试求S_△ADE+S_△BDF的值．

Answer 1

分析 连接CD，由DE⊥AC、DF⊥BC、∠ECF=90°、DE=DF可得出四边形AFCE为正方形，根据正方形的性质可知CD平分∠ACB，根据角平分线的性质可得出$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DB}{BC}$，设AC=3x，则BC=4x，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5x．根据AB=7可求出x值，进而得出AC、BC的值，再根据相似三角形的性质可得出S_△ADE、S_△BDF与S_△ABC之间的关系，结合三角形的面积公式即可求出S_△ADE+S_△BDF的值．

解答 解：连接CD，如图所示．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ECF=90°，DE=DF，
∴四边形AFCE为正方形，
∴CD平分∠ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DB}{BC}$．
∵AD=3，DB=4，
∴设AC=3x，则BC=4x，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5x．
∵AB=AD+DB=7，
∴x=$\frac{7}{5}$，
∴AC=$\frac{21}{5}$，BC=$\frac{28}{5}$．
∵∠A=∠A，∠AED=∠ACB=90°，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AD}{AB}$）²=$\frac{9}{49}$．
同理可得：$\frac{{S}_{△BDF}}{{S}_{△BAC}}$=（$\frac{DB}{AB}$）²=$\frac{16}{49}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{294}{25}$，
∴S_△ADE+S_△BDF=（$\frac{9}{49}$+$\frac{16}{49}$）S_△ABC=6．

点评 本题考查了角平分线的性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角形的面积，根据相似三角形的性质找出S_△ADE、S_△BDF与S_△ABC之间的关系是解题的关键．