Question

2．如图，正方形OABC的边OA、OC在坐标轴上，点B的坐标为（-4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．
（1）∠PBD的度数为45°，点D的坐标为（t，t）（用t表示）；
（2）在P、Q的运动过程中，直线OD的解析式发生变化吗？如果不变，请直接写出直线OD的解析式；
（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化，若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．

Answer 1

分析 （1）易证△BAP≌△PQD，从而得到DQ=AP=t，从而可以求出∠PBD的度数和点D的坐标；
（2）由（1）可求得D的坐标，从而可表示出OD的解析式；
（3）由于∠EBP=45°，故图1是以正方形为背景的一个基本图形，容易得到EP=AP+CE．容易得到△POE周长等于AO+CO=8，从而解决问题；

解答 解：
（1）如图1，

由题可得：AP=OQ=1×t=t（秒）
∴AO=PQ．
∵四边形OABC是正方形，
∴AO=AB=BC=OC，
∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．
∵DP⊥BP，
∴∠BPD=90°．
∴∠BPA=90°-∠DPQ=∠PDQ．
∵AO=PQ，AO=AB，
∴AB=PQ．
在△BAP和△PQD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠PQD}\\{∠BPA=∠PDQ}\\{AB=PQ}\end{array}\right.$
∴△BAP≌△PQD（AAS）．
∴AP=QD，BP=PD．
∵∠BPD=90°，BP=PD，
∴∠PBD=∠PDB=45°．
∵AP=t，
∴DQ=t．
∴点D坐标为（t，t）．
故答案为：45°，（t，t）．
（2）不变化，
∵D（t，t），
∴点D在直线y=x上，
即直线OD的解析式为y=x；
（3）延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF，如图2所示．

在△FAB和△ECB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠BAF=∠BCE}\\{AF=CE}\end{array}\right.$
∴△FAB≌△ECB．
∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．
∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠EBC=45°．
∴∠FBP=∠FBA+∠ABP
=∠EBC+∠ABP=45°．
∴∠FBP=∠EBP．
在△FBP和△EBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=BE}\\{∠FBP=∠EBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$
∴△FBP≌△EBP（SAS）．
∴FP=EP．
∵∠EBP=45°，
∴由图1可以得到EP=CE+AP，
∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE
=AO+CO
=4+4
=8．
∴△POE周长是定值，该定值为8．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理及分类讨论思想等知识．考查利用基本活动经验解决问题的能力，综合性非常强．熟悉正方形与一个度数为45°的角组成的基本图形（其中角的顶点与正方形的一个顶点重合，角的两边与正方形的两边分别相交）是解决本题的关键．