Question

1．如图，A、B是函数y=$\frac{1}{x}$的图象上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行于x轴．
（1）已知点A的坐标为（1，1），写出点B的坐标，并求出此时△ABC的面积；点A的坐标为（2，$\frac{1}{2}$），写出点B的坐标，并求出此时△ABC的面积；
（2）已知点A的坐标为（a，$\frac{1}{a}$），求出点B的坐标，并求出此时△ABC的面积．
（3）通过做以上两小题，你有什么发现？

Answer 1

分析 （1）依据A、B关于关于原点对称结合A点的坐标即可求出B点的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论；
（2）依据A、B关于关于原点对称结合A点的坐标即可求出B点的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论；
（3）通过观察上面2小题结果，结合题意即可找出规律．

解答 解：（1）∵点A、点B关于原点对称，点A坐标为（1，1），
∴点B的坐标为（-1，-1），点C的坐标为（1，-1），
∴AC=1-（-1）=2，BC=1-（-1）=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•BC•AC=$\frac{1}{2}$×2×2=2；
∵点A、点B关于原点对称，点A坐标为（2，$\frac{1}{2}$），
∴点B的坐标为（-2，-$\frac{1}{2}$），点C的坐标为（2，-$\frac{1}{2}$），
∴AC=$\frac{1}{2}$-（-$\frac{1}{2}$）=1，BC=2-（-2）=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•BC•AC=$\frac{1}{2}$×1×4=2．
（2）∵点A、点B关于原点对称，点A坐标为（a，$\frac{1}{a}$），
∴点B的坐标为（-a，-$\frac{1}{a}$），点C的坐标为（a，-$\frac{1}{a}$），
∴AC=$\frac{1}{a}$-（-$\frac{1}{a}$）=$\frac{2}{a}$，BC=a-（-a）=2a，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•BC•AC=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{a}$×2a=2．
（3）我发现了S_△ABC为固定值，即：若A、B是函数y=$\frac{1}{x}$的图象上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，则△ABC的面积S_△ABC=2|k|．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）找出点B、点C坐标；（2）找出点B、点C坐标；（3）结合题意写出发现的规律．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，先求出三角形各定点的坐标，再按照三角形的面积公式即可得出结论．