Question

11．已知：如图，正方形ABCD中，E为BD上一点，AE的延长线交CD于点F，交BC的延长线于点G，连结EC．
（1）求证：△ECF∽△EGC；
（2）若EF=$\sqrt{2}$，FG=$\sqrt{8}$，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）先根据正方形性质证△ADE≌△CDE得∠DAE=∠DCE，进而根据∠DAE=∠G可得∠DCE=∠G，由∠CEF=∠GEC可得△ECF∽△EGC；
（2）由△ECF∽△EGC知$\frac{EF}{EC}=\frac{EC}{EG}$，可得EC的值，根据△ADE≌△CDE得AE=CE．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE=∠CDE，AD=CD，
在△ADE和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDE}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE=∠DCE，
∵AD∥BG，
∴∠DAE=∠G，
∴∠DCE=∠G，
又∵∠CEF=∠GEC，
∴△ECF∽△EGC；

（2）∵△ECF∽△EGC，
∴$\frac{EF}{EC}=\frac{EC}{EG}$，即$\frac{\sqrt{2}}{EC}=\frac{EC}{\sqrt{2}+\sqrt{8}}$，
解得：EC=6，
由（1）知△ADE≌△CDE，
∴AE=CE=6．

点评 本题主要考查正方形性质、全等三角形判定与性质、相似三角形判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．