Question

5．如图，平行四边形ABCD中，过B点作直线交AC、AD于O、E，交CD的延长线于F点，
（1）求证：OB²=OE•OF
（2）若AB=4，BC=6，DF=2，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）由AB∥CD得到△AOB∽△COE，于是得到OE：OB=OC：OA，根据AD∥BC于是得到△AOF∽△COB，推出OB：OF=OC：OA，进而得出OB²=OF•OE；
（2）由平行四边形的性质：对边平行易证△ABE∽△DFE，再由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出AE的长．

解答 解：
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AOB∽△COE．
∴OE：OB=OC：OA；
∵AD∥BC，
∴△AOF∽△COB．
∴OB：OF=OC：OA．
∴OB：OF=OE：OB，
即OB²=OF•OE；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD=BC=6，
∴△ABE∽△DFE，
∴DF：AB=DE：AE，
∵AB=4，DF=2，
∴2：4=（6-AE）：AE，
解得：AE=4．

点评 此题考查了相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定难度，证线段的乘积相等，通常转化为比例式形式，再证明所在的三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．