Question

9．（1）【问题发现】
如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为BE=$\sqrt{2}$AF
（2）【拓展研究】
在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）【问题发现】
当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．

Answer 1

分析 （1）先利用等腰直角三角形的性质得出AD=$\sqrt{2}$，再得出BE=AB=2，即可得出结论；
（2）先利用三角函数得出$\frac{CA}{CB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，同理得出$\frac{CF}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，夹角相等即可得出△ACF∽△BCE，进而得出结论；
（3）分两种情况计算，当点E在线段BF上时，如图2，先利用勾股定理求出EF=CF=AD=$\sqrt{2}$，BF=$\sqrt{6}$，即可得出BE=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，借助（2）得出的结论，当点E在线段BF的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，AB=AC=2，
根据勾股定理得，BC=$\sqrt{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
点D为BC的中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$，
∵四边形CDEF是正方形，
∴AF=EF=AD=$\sqrt{2}$，
∵BE=AB=2，
∴BE=$\sqrt{2}$AF，
故答案为BE=$\sqrt{2}$AF；
（2）无变化；
如图2，在Rt△ABC中，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴sin∠ABC=$\frac{CA}{CB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在正方形CDEF中，∠FEC=$\frac{1}{2}$∠FED=45°，
在Rt△CEF中，sin∠FEC=$\frac{CF}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{CF}{CE}=\frac{CA}{CB}$，
∵∠FCE=∠ACB=45°，
∴∠FCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE，
∴∠FCA=∠ECB，
∴△ACF∽△BCE，
∴$\frac{BE}{AF}=\frac{CB}{CA}=\sqrt{2}$，
∴BE=$\sqrt{2}$AF，
∴线段BE与AF的数量关系无变化；
（3）当点E在线段AF上时，如图2，
由（1）知，CF=EF=CD=$\sqrt{2}$，
在Rt△BCF中，CF=$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{2}$，
根据勾股定理得，BF=$\sqrt{6}$，
∴BE=BF-EF=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
由（2）知，BE=$\sqrt{2}$AF，
∴AF=$\sqrt{3}$-1，
当点E在线段BF的延长线上时，如图3，
在Rt△ABC中，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴sin∠ABC=$\frac{CA}{CB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在正方形CDEF中，∠FEC=$\frac{1}{2}$∠FED=45°，
在Rt△CEF中，sin∠FEC=$\frac{CF}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{CF}{CE}=\frac{CA}{CB}$，
∵∠FCE=∠ACB=45°，
∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，
∴∠FCA=∠ECB，
∴△ACF∽△BCE，
∴$\frac{BE}{AF}=\frac{CB}{CA}=\sqrt{2}$，
∴BE=$\sqrt{2}$AF，
由（1）知，CF=EF=CD=$\sqrt{2}$，
在Rt△BCF中，CF=$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{2}$，
根据勾股定理得，BF=$\sqrt{6}$，
∴BE=BF+EF=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
由（2）知，BE=$\sqrt{2}$AF，
∴AF=$\sqrt{3}$+1．
即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为$\sqrt{3}$-1或$\sqrt{3}$+1．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解（2）（3）的关键是判断出△ACF∽△BCE．第三问要分情况讨论．