Question

18．抛物线y=x²-2x+m与x轴交于A，B两点，顶点为C．
（1）求m的取值范围；
（2）若△ABC是直角三角形，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由题意得出方程x²-2x+m=0有两个不相等的实数根，得出b²-4ac=0，即（-2）²-4×1×m＞0，解不等式即可；
（2）由题意得出△ABC是等腰三角形，若△ABC是直角三角形，则CD=$\frac{1}{2}$AB，AB=b-a，由根与系数的关系得出a+b=2，ab=m，得出关于m的方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²-2x+m与x轴交于A，B两点，
∴方程x²-2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴b²-4ac＞0，
即（-2）²-4×1×m＞0，
∴m＜1；
（2）∵抛物线y=x²-2x+m与x轴交于A，B两点，顶点为C，
∴△ABC是等腰三角形，
若△ABC是直角三角形，设抛物线与x轴的交点为D，点A、B的横坐标分别为a、b（a＜b），
则CD=$\frac{1}{2}$AB，AB=b-a，
由根与系数的关系得：a+b=2，ab=m，
∵抛物线y=x²-2x+m=（x-1）²+m-1，
∴C（2，m-1），
∴CD=|m-1|=1-m，
∴1-m=$\frac{1}{2}$（b-a）=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$=$\sqrt{{2}^{2}-4m}$，
解得：m=0，或m=1（舍去），
∴m=0．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式、根与系数的关系、不等式的解法、直角三角形斜边上的中线性质、一元二次方程的解法等知识；由根与系数的关系和直角三角形斜边上的中线性质得出方程是解决问题的关键．