Question

2．如图，在某海域内有A，C两个港口，港口C在港口A北偏东60°方向上，一艘船以每小时36海里的速度沿北偏东30°的方向驶离A港口，3小时后到达B点位置，在B处测得港口C在B处的南偏东75°方向上，求B处离港口C有多少海里．（结果保留根号）

Answer 1

分析 如图作BM⊥AC于M，首先证明∠C=45°，分别在RT△ABM和RT△MBC中求出BM、BC即可解决问题．

解答 解：如图作BM⊥AC于M，
∵∠HAC=60°，∠HAB=30°，
∴∠BAC=30°，
∵AH∥BF，
∴∠ABF=∠HAF=30°，
∵∠FBC=75°，
∴∠ABC=∠ABF+∠FBC=105°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°，
∵∠BMC=90°，
∴∠MBC=∠MCB=45°，
∴MB=MC，
在RT△ABM中，∠AMB=90°，AB=36×3=108海里，∠BAM=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=54，
∴BC=$\sqrt{2}$BM=54$\sqrt{2}$海里．
答：B处离港口C有54$\sqrt{2}$海里．

点评 本题考查解直角三角形、方向角、三角函数、特殊角的三角函数值等知识，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键，把一般三角形转化为特殊三角形解决，属于中考常考题型．