Question

在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，P是∠A外角平分线上的一点，连接BP、PC，若PC＜3，求BP²的长．

Answer 1

考点：正方形的判定与性质,勾股定理,勾股定理的逆定理

专题：

分析：过C点作DC⊥AC交∠A外角平分线于D，过D作DE⊥AB于E，先求得△ABC是直角三角形，AB⊥AC，再根据△ACD和△AED是等腰直角三角形，证得四边形ACDE是正方形，从而求得CD=DE=AE=AC=3，BE=7，根据勾股定理求得BD²=AE²+ED²=7²+3²=58，由于PC＜3=AC=CD，则P应是线段AD上的点，且不与A、D重合，所以AB＜BP＜BD，进而求得16＜BP²＜58．

解答：解：过C点作DC⊥AC交∠A外角平分线于D，过D作DE⊥AB于E，
∵AB=4，AC=3，BC=5，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC是直角三角形，AB⊥AC，
∵AP平分∠PAE，
∴∠CAP=∠EAP=45°，
∴△ACD和△AED是等腰直角三角形，
∴四边形ACDE是正方形，
∴CD=DE=AE=AC=3，BE=AB+BE=7，
∴BD²=AE²+ED²=7²+3²=58，
∵PC＜3=AC=CD，
∴P点是线段AD上且不与A、D重合的点，
∴AB＜BP＜BD，
∴AB²＜BP²＜BD²，
即16＜BP²＜58．

点评：本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，作出辅助线构建正方形是本题的关键．