Question

已知关于x的一元二次方程（c-b）x²+a-b=2（b-a）x有两个相等的实数根，求证：以a，b，c为边组成的三角形是等腰三角形．

Answer 1

考点：根的判别式,等腰三角形的判定

专题：证明题

分析：若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=b²-4ac=0，即[-2（b-a）]²-4（c-b）（a-b）=0，再利用完全平方公式得出即可．

解答：解：∵关于x的一元二次方程（c-b）x²+a-b=2（b-a）x有两个相等的实数根，
∴（c-b）x²-2（b-a）x+（a-b）=0
∴△=[-2（b-a）]）²-4（c-b）（a-b）=0，
∴（a-b）²-（c-b）（a-b）=0，
∴（a-b）[（a-b）-（c-b）]=0，
∴a-b=0或a-b-（c-b）=0，
∴a=b或a=c，
即以a，b，c为边组成的三角形是等腰三角形．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．