Question

已知⊙0的直径AB=10，有一动点C从A点沿圆周顺时针运动到点B，若点D为

AC

的三个等分点，过点D作DE⊥AB于E，直线AC交直线DB于G，点C，D都不与直径AB两端点重合．如图，若

AD

=

1

3

ADC

=45°时．
（1）求劣弧AD的长；
（2）求DE的长；
（3）求△BCG的面积．

Answer 1

考点：圆周角定理,弧长的计算,解直角三角形

专题：

分析：（1）先求出⊙0的半径与∠AOD的度数，再代入弧长公式即可求解；
（2）在等腰直角三角形DOE中，利用锐角三角函数即可求出DE的长；
（3）先证明△GBC为等腰直角三角形，设GC=BC=x，则BG=

2

x，再证明GA=GB=

2

x，然后在Rt△ABC中利用勾股定理得出AC²+BC²=AB²，依此列出方程（

2

x+x）²+x²=10²，求出x²=50-25

2

，进而得到△BCG的面积．

解答：解：（1）∵⊙0的直径AB=10，
∴⊙0的半径=5，
∵

AD

=45°，
∴∠AOD=45°，
∴劣弧AD=

45π×5

180

=

5

4

π；

（2）∵∠AOD=45°，DE⊥AB，
∴DE=OD•sin45°=

5 2

2

；

（3）∵⊙0的直径为AB，
∴∠ACB=90°．
∵

AD

=

1

3

ADC

=45°，
∴

ADC

=135°，
∴

CD

=135°-45°=90°，

BC

=180°-135°=45°，
∴∠GBC=45°，∠CAB=22.5°，
∴△GBC为等腰直角三角形，
设GC=BC=x，则BG=

2

x．
∵∠GBA=45°-22.5°=22.5°=∠GAB，
∴GA=GB=

2

x．
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
∴（

2

x+x）²+x²=10²，
∴x²=50-25

2

，
∴S_△BCG=

1

2

BC•CG=

1

2

x²=

1

2

（50-25

2

）=25-

25 2

2

．

点评：本题考查了弧长的计算，圆周角定理，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，难度适中．在Rt△ABC中利用勾股定理列出方程是解题的关键．