Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，将Rt△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DGC，点G在AC上，再将Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180°得到△ABE，连接AD．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）连接BG并延长交AD于F，连接CF交DG于H．
①请问：四边形ABCF是什么特殊平行四边形？为什么？
②若FH=2，求四边形AECD的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据条件得出AE∥CD，AE=CD，进而得到四边形AECD是平行四边形，再根据AE=EC，即可得出四边形AECD是菱形．
（2）①根据EC∥AD，∠ACB=∠CAF=60°，AG=GC=BC，可得AC=BF，四边形ABCF是平行四边形，进而得到四边形ABCF是矩形．
②根据GF∥CD，可得△GFH∽△DCH，再根据CD=2GF，FH=2，可得CH=4，CF=6．根据Rt△CFD 中，tan30°=$\frac{DF}{CF}$，可得DF=2$\sqrt{3}$，CD=AD=4$\sqrt{3}$，据此可得四边形AECD的面积．

解答 解：（1）证明：将Rt△ABC绕点C逆时针方向旋转60°，得到△DGC，
∴AC=CD，
将Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180°，得到△ABE，
∴EC=2BC，AC=AE，
∴AE=CD，
在Rt△ABC 中，∠ACB=60°，∠CAB=30°，
∴AC=2BC，AC=AE，
∴AE=EC=CD，
又∠ACB=∠E=60°，∠DCE=∠ACB+∠DCG=60°+60°=120°，
∴∠E+∠DCE=60°+120°=180°，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
又AE=EC，
∴四边形AECD是菱形．

（2）①四边形ABCF是矩形．
理由如下：由（1）可知，EC∥AD，∠ACB=∠CAF=60°，AG=GC=BC．
∴△CBG和△AGF都是等边三角形，且△CBG≌△AGF，
∴AG=GC=BG=GF，且AF=BC，
∴AC=BF，四边形ABCF是平行四边形，
∴四边形ABCF是矩形．

②由①可知，∠CBF+∠BCD=60°+120°=180°
∴GF∥CD，
∴△GFH∽△DCH，
又CD=2GF，
∴$\frac{GF}{CD}$=$\frac{FH}{CH}$=$\frac{1}{2}$，
∵FH=2，
∴CH=4，CF=6．
在Rt△CFD 中，tan30°=$\frac{DF}{CF}$，
∴DF=2$\sqrt{3}$，CD=AD=4$\sqrt{3}$，
∴四边形AECD的面积为：4$\sqrt{3}$×6=24$\sqrt{3}$．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的判定，矩形的判定以及相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线相等的平行四边形是矩形．