Question

3．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，且抛物线经过 A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=-1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求此时点M的坐标；
（3）设点P为抛物线对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）依据抛物线的对称轴公式可得到$-\frac{b}{2a}$=-1，然后在将点A和点C的坐标代入可得到关于a、b、c的方程组，然后解得a、b、c的值即可；
（2）由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质可知当点M在CB上时，AM+MC的值最小，然后求得BC的解析式，再把x=-1代入直线BC的解析式求得对应的y值即可；
（3）设P（-1，t），依据两点间的距离公式得到CB²=18，PB²=t²+4，PC²=t²-6t+10，然后分为BC²+PB²=PC²、BC²+PC²=PB²、PC²+PB²=BC²三种情况列方程求解即可．

解答 解：（1）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=-1}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3．

（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时AM+MC的值最小．
∵点A与点B关于x=-1对称，A（1，0），
∴C（-3，0）．
设BC的解析式为y=mx+n，将点B和点C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{-3m+n=0}\end{array}\right.$，解得：m=1，n=3．
∴直线BC的解析式为y=x+3．
将x=-1代入y=x+3得：y=2，
∴M（-1，2）．
∴当点M的坐标为（-1，2）时，点M到点A和点C的距离之和最小．

（3）设P（-1，t）．
∵P（-1，t），B（-3，0），C（0，3），
∴CB²=18，PB²=（-1+3）²+t²=t²+4，PC²=（-1）²+（t-3）²=t²-6t+10．
①当点B为直角顶点时，则BC²+PB²=PC²，即18+t²+4=t²-6t+10，解得t=-2，
∴P（-1，-2）．
②当点C为直角顶点时，BC²+PC²=PB²，即18+t²-6t+10=t²+4，解得t=4，
∴P（-1，4）．
③当点P为直角顶点时，PC²+PB²=BC²，即t²+4+t²-6t+10=18，解得：t=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$或t=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，
∴P（-1，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）或（-1，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）．
综上所述，点P的坐标为P（-1，-2）或（-1，4）或（-1，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）或（-1，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的关系式，轴对称图形的性质、勾股定理的逆定理的应用，依据勾股定理的逆定理列出关于t的方程是解题的关键．