Question

18．如图①，抛物线y=ax²+bx+c过原点，且当x=-$\frac{3}{2}$时有最小值，并经过点A（-4，2），同时AB平行于x轴交抛物线与点B．
（1）求该抛物线的解析式，并求出点B的坐标和抛物线与x轴的另一交点坐标；
（2）在x轴上是否存在点D，使△AOB与△BOD相似？
（3）如图②，将△AOB绕着点O按逆时针方向旋转后到达△A′OB′的位置，当△A′OB′的重心G正好落在直线OA上时，求直线A′B′与直线AB的交点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}}\\{16a-4b=2}\\{c=0}\end{array}\right.$，解方程组即可解决问题；
（2）存在．如图1中，作BD∥AO交x轴于D．易知四边形ABDO是平行四边形，此时△BOD≌△OBA，推出OD=AB=5，由此即可解决问题；
（3）如图2中，当OA′与x轴负半轴重合时，A′B′交OA于E，证明此时OE是△A′OB′的中线，△A′OB′的重心在中线OA上，求出中线A′B′的解析式即可解决问题，当OA′与x轴的正半轴重合时，同法可得点P的坐标；

解答 解：（1）由题意$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}}\\{16a-4b=2}\\{c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}x$．
当y=2时，$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}x$=0，解得x=1或-4，
∵A（-4，2），
∴B（1，2），
令y=0，$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}x$=0解得x=-3或0，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0）；

（2）存在．理由如下：
如图1中，作BD∥AO交x轴于D．

∵AB∥OD，AO∥BD，
∴四边形ABDO是平行四边形，
∴AB=OD，OA=BD，∵OB=BO，
∴△BOD≌△OBA，
∴OD=AB=5，
∴D（5，0）；

（3）如图2中，当OA′与x轴负半轴重合时，A′B′交OA于E，

∴∠A=∠B′A′O=∠AOA′，
∴EA′=EO，
∵∠B′A′O+∠A′B′O=90°，∠A′OE+∠EOB′=90°，
∴∠EOB′=∠EB′O，
∴EO=EB′，
∴EA′=EB′，
∴OE是△A′OB′的中线，此时△A′OB′的重心在中线OA上，
易知A′（-2$\sqrt{5}$，0），B′（0，$\sqrt{5}$），
∴中线A′B′的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\sqrt{5}$，
当y=2时，2=$\frac{1}{2}$x+$\sqrt{5}$，
∴x=4-2$\sqrt{5}$，
∴P（4-2$\sqrt{5}$，2）．
当OA′与x轴的正半轴重合时，同法可得点P的坐标为（4+2$\sqrt{5}$，2），
综上所述，满足条件的点P坐标为（4-2$\sqrt{5}$，2）或（4+2$\sqrt{5}$，2）；

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、三角形重心的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．