Question

1．已知四边形ABCD，AB∥CD，且AB=AC=AD=a，BC=b，且2a＞b．求cos∠DBA的值．

Answer 1

分析 欲求∠DBA的余弦值，需将已知条件构建到一个直角三角形中求解；已知四边形ABCD中，AB=AC=AD；若以A为圆心，AB为半径作圆，则此圆必过C、D；延长BA交⊙A于E，则BE为⊙A的直径，连接DE，在Rt△BDE中，已知了BE=2a，需求出BD的长；根据DC∥AB，易证得DE=BC=b，则根据勾股定理即可求得BD的长，由此得解．

解答 解：如图，以A为圆心，以a为半径作圆．延长BA交⊙A于E点，连接ED，

∵AB∥CD，
∴∠CAB=∠DCA，∠DAE=∠CDA；
∵AC=AD，∴∠DCA=∠CDA，
∴∠DAE=∠CAB，
在△ABC和△DAE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AC}\\{∠DAE=∠CAB}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△CAB≌△DAE（SAS），
∴ED=BC=b，
∵BE是直径，
∴∠EDB=90°
在Rt△EDB中，ED=b，BE=2a，
由勾股定理得ED²+BD²=BE²
∴BD=$\sqrt{B{E}^{2}-E{D}^{2}}$=$\sqrt{（2a）^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{4{a}^{2}-{b}^{2}}$，
∴cos∠DBA=$\frac{BD}{BE}$=$\frac{\sqrt{4{a}^{2}-{b}^{2}}}{2a}$．

点评 此题主要考查了圆周角定理、勾股定理以及全等三角形的判定；能够通过辅助线构建出⊙A是解答本题的关键．