Question

10．（1）计算：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2014×2015}$；
（2）计算：$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{49×51}$；
（3）用n表示第（2）题的规律．

Answer 1

分析 （1）根据$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$裂项求解可得；
（2）根据$\frac{1}{（n-1）（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）裂项求解可得；
（3）由运算结果可知$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{n}{2n+1}$．

解答 解：（1）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$=1-$\frac{1}{2015}$=$\frac{2014}{2015}$；

（2）原式=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{49}$-$\frac{1}{51}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{51}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{50}{51}$
=$\frac{25}{51}$；

（3）$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题主要考查数字的变化规律和有理数的混合运算，熟练掌握裂项求解的方法和有理数的运算是解题的关键．