Question

如图，四边形ABCD为平行四边形，M、N分别从D到A、从B到C，速度相同，E、F分别从A到B、从C到D，速度相同．他们之间用绳子连紧．
（1）没有出发时，这两条绳子有何关系？
（2）若同时出发，这两条绳子还有（1）中的结论吗？为什么？

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：几何图形问题

分析：（1）由“平行四边形的对角线互相平分”的性质进行判定；
（2）如图2，顺次连接EN、NF、FM、ME，证得四边形ENFM为平行四边形，则EF与MN相互平分．

解答：（1）解：没有出发时，这两条绳子相互平分．理由如下：
如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
即EF与MN相互平分；

（2）解：若同时出发，这两条绳子还有（1）中的结论．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C．
又∵M、N分别从D到A、从B到C，速度相同，E、F分别从A到B、从C到D，速度相同，
∴AE=CF，AM=CN，
∴在△AEM与△CFM中，

AE=CF ∠A=∠C AM=CN

，
∴△AEM≌△CFM（SAS），
∴EM=FN．
同理EN=MF，
∴四边形ENFM为平行四边形，
∴EF与MN相互平分．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．解答（2）题的关键是证得四边形ENFM为平行四边形．