Question

已知，如图，在△ABC中，AB=8cm，AC=4cm，△BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG交于点D，过点D的直线DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F（或AC延长线）
（1）求证：AE=AF；
（2）求证：BE=CF；
（3）求AE的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,线段垂直平分线的性质

专题：几何综合题

分析：（1）利用角平分线的性质得出DE=DF，证得Rt△AED≌Rt△AFD，得出结论；
（2）连接BD，CD．利用垂直平分线的性质得出DB=DC，证得Rt△DCF≌Rt△DBE，得出结论；
（3）利用（1）（2）的结论，利用线段的和与差得出答案即可．

解答：（1）证明：∵点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
在Rt△AED与Rt△AFD中，

DE=DF AD=AD

，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF；
（2）证明：连接BD，CD．
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DB=DC；
在Rt△DCF与Rt△DBE中，

DE=DF DB=DC

，
∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），
∴CF=BE；
（3）解：∵AB=8cm，AC=4cm，CF=BE，AE=AF=AC+CF，
∴AB=AE+BE=AC+BE+CF=AC+2BE，
∴BE=2cm，
∴AE=AB-BE=6cm．

点评：此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，以及线段的和与差等知识解决问题．