Question

3．当-1≤x≤2时，二次函数y=x²+2mx+m+2，有最小值-3，则实数m的值为（　　）

• A． $\frac{1+\sqrt{21}}{2}$或$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$
• B． 6或-$\frac{9}{5}$
• C． 6或$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$
• D． 6或-$\frac{9}{5}$或$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$或$\frac{1+\sqrt{21}}{2}$

Answer 1

分析 y=x²+2mx+m+2=（x+m）²-m²+m+2，知抛物线的对称轴为直线x=-m，且当x＜-m时，y随x的增大而减小，当x＞-m时，y随x的增大而增大，再分①-m≥2，即m≤-2；②-1＜-m＜2，即-2＜m＜1；③-m≤-1，即m≥1；分别根据二次函数的性质求解可得．

解答 解：∵y=x²+2mx+m+2=（x+m）²-m²+m+2，
∴抛物线的对称轴为直线x=-m，
∴当x＜-m时，y随x的增大而减小，当x＞-m时，y随x的增大而增大，
①当-m≥2，即m≤-2时，x=2时，y取得最大值，即4+4m+m+2=-3，解得：m=-$\frac{9}{5}$＞-2，舍去；
②当-1＜-m＜2，即-2＜m＜1时，x=-m时，-m²+m+2=-3，
解得：m₁=$\frac{1+\sqrt{21}}{2}$＞1，舍去；m₂=$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$；
③当-m≤-1，即m≥1时，x=-1时，1-2m+m+2=-3，解得：m=6；
综上，m的值为6或$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．