Question

5．⊙O的内接正六边形的面积为6$\sqrt{3}$，则⊙O的外切正八边形的面积为8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先求出⊙O的半径，再根据正八边形的性质得出AO=BO=CO=2，∠AOB=∠BOC=45°，进而得出AC的长，即可得出S_{四边形AOCB}的面积，进而得出答案．

解答 解：∵⊙O的内接正六边形的面积为6$\sqrt{3}$，
设⊙O的半径=R，
∴$\frac{1}{2}$R×$\frac{\sqrt{3}}{2}$R=$\sqrt{3}$，
∴R=2，
在正八边形中，连接AO，BO，CO，AC，
∵正八边形ABCDEFGH的半径为R，
∴AO=BO=CO=2，∠AOB=∠BOC=45°，
∴∠AOC=90°，
∴AC=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$，此时AC与BO垂直，
∴S_{四边形AOCB}=$\frac{1}{2}$BO×AC=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
∴正八边形面积为：2$\sqrt{2}$×4=8$\sqrt{2}$；
故答案为：8$\sqrt{2}$．

点评 此题主要考查了正多边形和圆的有关计算，根据已知得出中心角∠AOC=90°再利用勾股定理得出AC的长是解题关键．