Question

7．如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F，BD交AE于M．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若BC=2，∠BAC=30°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，进而得到∠CAE=∠DAB，再根据SAS即可判定△AEC≌△ADB；
（2）过点B作BG⊥EC于点G，根据四边形ADFC是菱形，以及等腰三角形的性质，得出∠FCB=45°，求得BG=GC=BCsin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，再根据∠BFC=30°，即可得到BF=2BG．

解答 解：（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，
∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，
即∠CAE=∠DAB，
在△AEC和△ADB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠CAE=∠DAB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△ADB（SAS）；

（2）如图，过点B作BG⊥EC于点G，
∵∠BAC=30°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=75°．
∵当四边形ADFC是菱形时，AC∥DF，
∴∠FBA=∠BAC=30°，
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD=30°，
∴∠ACE=∠ADB=30°，
∴∠FCB=45°．
∵BG⊥EC，
∴∠GBC=45°，
∴BG=GC=BCsin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，
∵∠ABC=75°，∠ABD=30°，∠FCB=45°
∴∠BFC=180°-75°-45°-30°=30°，
∴BF=2BG=2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了旋转的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．解决问题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形与含30°角的直角三角形．