Question

19．已知：如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD．
（1）求证：AC=BD；
（2）求证：OE平分∠AED．

Answer 1

分析 （1）先证明∠AOC=∠BOD，依据SAS可证明△AOC和△BOD全等，由全等三角形的性质可知AC=BD；
（2）连接BA、CD，由全等三角形的性质可知∠ACO=∠BDO从而可证明点E、O、D、C共圆，由圆周角定理可知∠OED=∠OCD，同理可证∠AEO=∠ABO，然后由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证明∠ABO=∠DCO相等即可．

解答 证明：（1）∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOC=∠BDO．
在△AOC和△BOD中$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOC=∠BDO}\\{CO=DO}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD．
∴AC=BD．
（2）连接BA、CD．

∵△AOC≌△BOD，
∴∠ACO=∠BDO，∠OAC=∠OBD．
∵∠ACO和∠BDO在OE的同侧，且∠ACO=∠BDO，
∴点E、O、D、C共圆．
∴∠OED=∠OCD．
同理：∠AEO=∠ABO．
∵OC=OD，
∴∠CCD=∠ODC．
∴∠COD=$\frac{1}{2}（180°-∠COD）$．
同理：∠ABO=$\frac{1}{2}（180°-∠AOB）$．
∵∠AOB=∠COD，
∴∠COD=∠ABO．
∴∠AEO=∠DEO．
∴EO平分∠AED．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、四点共圆、圆周角定理，分别证得E、O、D、C共圆以及点A、B、E、O共圆是解题的关键．