Question

15．如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE=CF，∠BDE=30°，求证：△ABC是等边三角形．

Answer 1

分析 利用“HL”证明△BED和△CFD全等，再根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C，然后根据等角对等边得到AB=AC，再求得∠B=60°，即可解答．

解答 证明：∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在△BED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CFD（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）．
∵∠BDE=30°，DE⊥AB，
∴∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形．

点评 本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等角对等边的性质，等边三角形的判定，解题的关键是证明△BED≌△CFD．