Question

1．凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优惠方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×（18-10）=0.8（元），因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．
（1）求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？
（2）求写出该文具店一次销售x（x＞10）只时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？

Answer 1

分析 （1）设一次购买x只，由于凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，而最低价为每只16元，因此得到20-0.1（x-10）=16，解方程即可求解；
（2）由于根据（1）得到x≤50，又一次销售x（x＞10）只，因此得到自变量x的取值范围，然后根据已知条件可以得到y与x的函数关系式；
（3）首先把函数变为y=-0.1x²+9x=-0.1（x-45）²+202.5，然后可以得到函数的增减性，再结合已知条件即可解决问题．

解答 解：（1）设一次购买x只，
则20-0.1（x-10）=16，
解得：x=50．
答：一次至少买50只，才能以最低价购买；

（2）当10＜x≤50时，
y=[20-0.1（x-10）-12]x=-0.1x²+9x，
当x＞50时，y=（16-12）x=4x；
综上所述：y=$\left\{\begin{array}{l}{-0.1{x}^{2}+9x（10＜x≤50）}\\{4x（x＞50）}\end{array}\right.$；

（3）y=-0.1x²+9x=-0.1（x-45）²+202.5，
①当10＜x≤45时，y随x的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大．
②当45＜x≤50时，y随x的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小．
且当x=46时，y₁=202.4，
当x=50时，y₂=200．
y₁＞y₂．
即出现了卖46只赚的钱比卖50只赚的钱多的现象．
当x=45时，最低售价为20-0.1（45-10）=16.5（元），此时利润最大．

点评 本题考查了二次函数的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=-$\frac{b}{2a}$时取得．