点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点.分别过点A.C向直线BP作垂线.垂足分别为点E.F.点O为AC的中点．(1)如图1.当点P与点O重合时.请你判断OE与OF的数量关系,(2)当点P运动到如图2所示位置时.请你在图2中补全图形并通过证明判断(1)中的结论是否仍然成立,(3)若点P在射线OA上运动.恰好使得∠OEF=30°时.猜想此时线段CF.AE.OE之间有怎样� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点．

（1）如图1，当点P与点O重合时，请你判断OE与OF的数量关系；
（2）当点P运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；
（3）若点P在射线OA上运动，恰好使得∠OEF=30°时，猜想此时线段CF，AE，OE之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．

分析（1）根据矩形的性质以及垂线，即可判定△AOE≌△COF（AAS），得出OE=OF；
（2）先延长EO交CF于点G，通过判定△AOE≌△COG（ASA），得出OG=OE，再根据Rt△EFG中，OF=$\frac{1}{2}$EG，即可得到OE=OF；
（3）根据点P在射线OA上运动，需要分两种情况进行讨论：当点P在线段OA上时，当点P在线段OA延长线上时，分别根据全等三角形的性质以及线段的和差关系进行推导计算即可．

解答解：（1）OE=OF．
理由：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
∵在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠CFO}\\{∠AOE=∠COF}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；

（2）补全图形如右图2，OE=OF仍然成立．
证明：延长EO交CF于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO=∠GCO，
又∵点O为AC的中点，
∴AO=CO，
在△AOE和△COG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠GCO}\\{AO=CO}\\{∠AOE=COG}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COG（ASA），
∴OG=OE，
∴Rt△EFG中，OF=$\frac{1}{2}$EG，
∴OE=OF；

（3）CF=OE+AE或CF=OE-AE．
证明：①如图2，当点P在线段OA上时，
∵∠OEF=30°，∠EFG=90°，
∴∠OGF=60°，
由（2）可得，OF=OG，
∴△OGF是等边三角形，
∴FG=OF=OE，
由（2）可得，△AOE≌△COG，
∴CG=AE，
又∵CF=GF+CG，
∴CF=OE+AE；

②如图3，当点P在线段OA延长线上时，
∵∠OEF=30°，∠EFG=90°，
∴∠OGF=60°，
同理可得，△OGF是等边三角形，
∴FG=OF=OE，
同理可得，△AOE≌△COG，
∴CG=AE，
又∵CF=GF-CG，
∴CF=OE-AE．