Question

13．如图，△ABC为等腰直角三角形，AE=AF，EH⊥BF，AM⊥BF，求证：HM=CM．

Answer 1

分析 作辅助线，构建全等三角形，先证明△BAF≌△ACG，AF=CG，再证明四边形EHDA是平行四边形，得
DH=AE，所以DH=CG，最后证明△DHM≌△GMC，可得结论．

解答 证明：过C作CG⊥AC，交AM的延长线于G，过H作HD∥AB，交AM于D，
∵EH⊥BF，AM⊥BF，
∴EH∥AM，
∴四边形EHDA是平行四边形，
∴DH=AE，
∵∠BAC=90°，
∴∠MAC+∠BAM=90°，
∵CG⊥AC，
∴∠ACG=90°，
∴∠MAC+∠G=90°，
∴∠G=∠BAM，
∵∠BAC=∠ACG=90°，AB=AC，
∴△BAF≌△ACG，
∴AF=CG，
∴DH=CG，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵DH∥AB，
∴∠DHM=∠ABC=45°，
∵∠ACG=90°，
∴∠MCG=45°，
∴∠MCG=∠DHM，
∵∠DMH=∠GMC，
∴△DHM≌△GMC，
∴HM=MC．

点评 本题考查了等腰三角形、全等三角形的性质和判定，正确作出辅助线是本题的关键；辅助线巧妙地把等腰三角形的两腰放在了两个全等的三角形中，为全等三角形构建了一组对应边相等；同时构建的平行四边形又将已知相等的边平移到了另一组全等的三角形中，使问题得以解决．