Question

8．如图①②，点E、F分别是线段AB、线段CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC．
（1）线段AD和线段BC有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）当DG⊥GC时，试判断直线AD和直线BC的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由GF垂直平分DC，可得GD=GC，同理可得，GA=GB，又由∠AGD=∠BGC，即可证得△ADG≌△BCG（SAS），继而证得结论；
（2）首先延长AD，与CG相交于点O、与BC的延长线相交于点Q，由（1）可证得∠ADG=∠BCG，继而可求得∠Q的度数，

解答 解：（1）AD=BC．
理由：∵GF垂直平分DC，
∴GD=GC
同理，GA=GB，
在△ADG和△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{GD=GC}\\{∠AGD=∠BGC}\\{GA=GB}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△BCG（SAS），
∴AD=BC；

（2）AD⊥BC．
理由：延长AD，与CG相交于点O、与BC的延长线相交于点Q．
∵△ADG≌△BCG，
∴∠ADG=∠BCG，
则∠GDO=∠QCO，
∴∠QDC+∠QCD=∠QDC+∠DCG+∠QCG=∠QDC+∠GDQ+∠DCG=∠CDG+∠DCG，
∵DG⊥GC，
∴∠QDC+∠QCD=∠CDG+∠DCG=90°，
∴∠Q=90°，
∴AD⊥BC．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．