Question

12．如图，在坡顶B处的同一水平面上有一座纪念碑CD垂直于水平面，小明在斜坡底A处测得该纪念碑顶部D的仰角为45°，然后他沿着坡比i=5：12的斜坡AB攀行了39米到达坡顶，在坡顶B处又测得该纪念碑顶部的仰角为68°．求坡顶B到地面AE的距离和纪念碑CD的高度．（结果精确到1米，参考数据：sin68°=0.9，cos68°=0.4，tan68°=2.5）

Answer 1

分析 过点B作BG⊥AE，垂足为点G，如图．根据已知条件得到设BG=5k，则AG=12k，在Rt△BAG中，由勾股定理得，AB=13k，得到BG=15，于是得到坡顶B到AE的距离为15米．延长DC交AE于点F，根据平行线的性质得到DF⊥AE，根据矩形的性质得到AF=DF，设DC=x，则AF=36+GF，DF=x+15，得到BC=GF=x-21，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：过点B作BG⊥AE，垂足为点G，如图．
∵i=tan∠BAG=$\frac{BG}{AG}$=5：12，
∴设BG=5k，则AG=12k，
在Rt△BAG中，由勾股定理得，AB=13k，
∴13k=39，解得k=3，
∴BG=15，
∴坡顶B到AE的距离为15米．
延长DC交AE于点F，
∵BC⊥DC，BC∥AE，
∴DF⊥AE，
∴四边形BCFG是矩形，CF=BG=15，BC=GF，
∵∠DAF=45°，
∴AF=DF，
设DC=x，则AF=36+GF，DF=x+15，即x+15=35+GF，
∴BC=GF=x-21，
在Rt△DBC中，tan∠DBC=$\frac{CD}{BC}$，即$\frac{x}{x-21}$≈2.5，
解得x≈35，
答：坡顶B到地面AE的距离为15米，纪念碑CD的高度约为35米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度和仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识解直角三角形．