Question

7．如图，已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=-x²+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以$\sqrt{2}$个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ为直角三角形；
（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求得直线AB与x轴、y轴的交点坐标，然后将点A、点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组求得b、c的值从而可得到抛物线的解析式；
（2）由点A、B的坐标可知OB=OA，从而可求得∠BAO=45°，然后分为∠PQA=90°和∠QPA=90°两种情况求解即可；
（3）由题意可知：EP∥FQ，EF∥PQ，故此四边形EFQP为平行四边形，从而得到PE=FQ，然后设点P的坐标为（t，0）则可表示出点Q、E、F的坐标，从而可求得PE、FQ的长，最后根据PE=FQ列方程求解即可．

解答 解：（1）∵y=-x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0），当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3）．
∵将A（3，0），B（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．

（2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°，
∴∠QAP=45°．
如图①所示：∠PQA=90°时．

设运动时间为t秒，则QA=$\sqrt{2}$t，PA=3-t．
在Rt△PQA中，$\frac{QA}{PA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{\sqrt{2}t}{3-t}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：t=1．
如图②所示：∠QPA=90°时．

设运动时间为t秒，则QA=$\sqrt{2}$t，PA=3-t．
在Rt△PQA中，$\frac{PA}{AQ}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{3-t}{\sqrt{2}t}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：t=$\frac{3}{2}$．
综上所述，当t=1或t=$\frac{3}{2}$时，△PQA是直角三角形．

（3）如图③所示：

设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，-t+3），
则EP=3-t．点Q的坐标为（3-t，t），点F的坐标为（3-t，-（3-t）²+2（3-t）+3），即F（3-t，4t-t²），
则FQ=4t-t²-t=3t-t²．
∵EP∥FQ，EF∥PQ，
∴四边形EFQP为平行四边形．
∴EP=FQ，即3-t=3t-t²．
解得：t₁=1，t₂=3（舍去）．
将t=1代入得点F的坐标为（2，3）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数图象上的点的坐标与函数解析式之间的关系、待定系数法二次函数的解析式、等腰三角形三角形的性质和判定、平行四边形的判定，用含t的式子表示EP和FQ的长是解题的关键．