Question

1．如图，AB为⊙O的直径，P是AB延长线上一点，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，∠PCB=∠CDB，E是$\widehat{AC}$上的任一点，连接AE，BE，BE交弦CD于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）证明：BC²=BF•BE；
（3）若BE∥PC时，sin∠P=$\frac{3}{5}$，CF=5，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）连接AC，OC，根据圆周角定理得到∠PCB=∠1，∠ACB=90°，于是得到∠1+∠OBC=90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠OBC，于是得到∠PCB+∠OCB=90°即可得到结论；
（2）连接CE，根据圆周角定理得到∠3=∠2，推出△EBC∽△CBF，根据相似三角形的性质得到$\frac{BC}{BF}=\frac{BE}{BC}$，于是得到结论；
（3）根据平行线的性质得到OC⊥BE，∠5=∠P，等量代换得到$\widehat{EC}=\widehat{BD}$，于是得到∠2=∠4，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：连接AC，OC，
∵∠PCB=∠BDC，∠BDC=∠1，
∴∠PCB=∠1，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠1+∠OBC=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠PCB+∠OCB=90°，
即∠OCP=90°，
∴PC是⊙O的切线；

（2）连接CE，
∵AB⊥CD，AB为⊙O的直径，
∴$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，
∴∠3=∠2，
∵∠4=∠4，
∴△EBC∽△CBF，
∴$\frac{BC}{BF}=\frac{BE}{BC}$，
∴BC²=BF•BE；

（3）∵BE∥PC，OC⊥PC，
∴OC⊥BE，∠5=∠P，
∴$\widehat{BE}=\widehat{BC}$，
∵$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，
∴$\widehat{EC}=\widehat{BD}$，
∴∠2=∠4，
∴CF=BF=5，
∵sin∠5=sin∠p=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{FH}{5}=\frac{3}{5}$，
∴FH=3，
∴BH=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，CH=5+3=8，
设⊙O的半径为r，
∵r²=（r-4）²+8²，
∴r=10，
∵sin∠5=$\frac{AE}{AB}$，
∴$\frac{3}{5}=\frac{AE}{20}$，
∴AE=12．

点评 本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质、圆内接四边形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题的关键．