Question

半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上，若BE切⊙O于点E．
（Ⅰ）如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA=

 

度；
（Ⅱ）如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长．

Answer 1

考点：切线的性质,正方形的性质

专题：

分析：（Ⅰ）根据切线的性质以及直角三角形的性质得出∠EBA的度数即可；
（Ⅱ）利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出

OA

OE

=

OE

OB

，进而求出OA即可．

解答：解：（Ⅰ）∵半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，当点A在⊙O上时，过点B作的一条切线BE，E为切点，
∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°，
∴∠EBA的度数是：30°；
故答案为：30°．
                                                 
（Ⅱ）∵直线l与⊙O相切于点F，
∴∠OFD=90°，
∵在正方形ADCB中，∠ADC=90°，
∴OF∥AD，
∵OF=AD=2cm，
∴四边形OFDA为平行四边形，
∵∠OFD=90°，
∴平行四边形OFDA为矩形，
∴DA⊥AO，
∵在正方形ABCD中，DA⊥AB，
∴O，A，B三点在同一直线上，
∵E，A，D三点在同一直线上，
∴EA⊥OB，
∵∠OEB=90°，
∴∠OEB=∠EAO，
∵∠EOB=∠AOE，
∴△EOA∽△BOE，
∴

OA

OE

=

OE

OB

，即OE²=OA•OB，
∴OA（2+OA）=4，
解得 OA=（-1+

5

）cm（负值已舍去）．

点评：此题主要考查了切线的性质、正方形的性质．解题时，注意：圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质．