Question

12．如图放置的△OAB₁，△B₁A₁B₂，△B₂A₂B₃，…都是边长为1的等边三角形，点A在x轴上，点O，B₁，B₂，B₃，…都在直线l上，则点A₂的坐标是（2，$\sqrt{3}$），点A₂₀₁₇的坐标是（$\frac{2019}{2}$，$\frac{2017\sqrt{3}}{2}$）．

Answer 1

分析 由等边三角形的性质即可得出点B₁、B₂、B₃、…，的坐标，根据坐标的变化即可得出变化规律“点B_n的坐标为（$\frac{n}{2}$，$\frac{n\sqrt{3}}{2}$）（n为自然数）”，进而即可得出“点A_n的坐标为（$\frac{n}{2}$+1，$\frac{n\sqrt{3}}{2}$）（n为自然数）”，依此规律即可得出结论．

解答 解：∵△OAB₁，△B₁A₁B₂，△B₂A₂B₃，…，都是边长为1的等边三角形，
∴B₁A₁∥x轴，B₂A₂∥x轴，…，B_nA_n∥x轴，
∴点B₁的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），点B₂的坐标为（1，$\sqrt{3}$），
点B₃的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），点B₄的坐标为（2，2$\sqrt{3}$），…，
∴点B_n的坐标为（$\frac{n}{2}$，$\frac{n\sqrt{3}}{2}$）（n为自然数），
∴点A_n的坐标为（$\frac{n}{2}$+1，$\frac{n\sqrt{3}}{2}$）（n为自然数）．
当n=2时，点A₂的坐标为（2，$\sqrt{3}$）；
当n=2017时，点A₂₀₁₇的坐标为（$\frac{2019}{2}$，$\frac{2017\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题考查了规律型中点的坐标，根据等边三角形的性质结合点的变化找出变化规律“点A_n的坐标为（$\frac{n}{2}$+1，$\frac{n\sqrt{3}}{2}$）（n为自然数）”是解题的关键．