Question

4．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为点D，点M为AB上的动点，连接DM，过点D作DN⊥DM交AC于点N．当tanB=1时，DM=DN；若设tanB=$\frac{a}{b}$，如图②，那么DM与DN的数量关系为（　　）

• A． DM=DN
• B． DM=$\frac{a}{b}$DN
• C． DM=$\frac{b}{a}$DN
• D． DM=2DN

Answer 1

分析 由△BDM∽△ADN得$\frac{BD}{AD}$=$\frac{DM}{DN}$，再根据tanB=$\frac{a}{b}$=$\frac{AD}{BD}$得$\frac{DN}{DM}$=$\frac{a}{b}$即可解决问题．

解答 解：如图②中，∵AD⊥BC，MD⊥DN，
∴∠MDN=∠BAD=90°，
∴∠BDM=∠ADN，
∵∠B+∠C=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠B=∠DAN，
∴△BDM∽△ADN，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{DM}{DN}$，
∵tanB=$\frac{a}{b}$=$\frac{AD}{BC}$，
∴$\frac{DN}{DM}$=$\frac{a}{b}$，
∴DM=$\frac{b}{a}DN$，
故选C．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义的等知识解题的关键是正确寻找相似三角形，；于相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．