Question

17．已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于N点，M在BD上，且∠DAN=∠BAM，∠DCN=∠BCM．求证：
（1）M为BD的中点；
（2）AN•CM=AM•CN．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理可知∠DAN=∠DBC、∠DCN=∠DBA，结合∠DAN=∠BAM、∠DCN=∠BCM即可证出△BAM∽△CBM，根据相似三角形的性质即可得出BM²=AM•CM①，同理可得出DM²=AM•CM②，结合①②即可得出BM=DM，从而证出M为BD的中点；
（2）延长AM交圆于点P，连接CP，由圆周角定理结合∠DAN=∠BAM、∠DCN=∠BCM即可得出∠BCP=∠DBC，依据“内错角相等，两直线平行”即可得出PC∥BD，由平行线的性质即可得出$\frac{AN}{NC}=\frac{AM}{PM}$③，再通过角的转化即可得出∠APC=∠MCP，进而得出PM=CM④，结合③④即可得出$\frac{AN}{CN}=\frac{AM}{CM}$，从而证出AN•CM=AM•CN．

解答 证明：（1）根据同弧所对的圆周角相等，得∠DAN=∠DBC，∠DCN=∠DBA．
又∵∠DAN=∠BAM，∠DCN=∠BCM，
∴∠BAM=∠MBC，∠ABM=∠BCM，
∴△BAM∽△CBM，
∴$\frac{BM}{CM}=\frac{AM}{BM}$，即BM²=AM•CM．①
又∵∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB，∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM，
∴△DAM∽△CDM，
∴$\frac{DM}{CM}=\frac{AM}{DM}$，即DM²=AM•CM．②
由式①、②得：BM=DM，
∴M为BD的中点．
（2）解：如图，延长AM交圆于点P，连接CP．
∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC，
∴PC∥BD，
∴$\frac{AN}{NC}=\frac{AM}{PM}$．③
又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD，∠DBC=∠PCB，
∴∠ABC=∠MCP．
∵∠ABC=∠APC，
∴∠APC=∠MCP，
∴PM=CM．④
由式③、④得$\frac{AN}{CN}=\frac{AM}{CM}$，
∴AN•CM=AM•CN．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质以及圆周角定理，解题的关键是：（1）根据相似三角形的性质找出$\frac{BM}{CM}=\frac{AM}{BM}$、$\frac{DM}{CM}=\frac{AM}{DM}$；（2）根据平行线以及等腰三角形的性质找出$\frac{AN}{NC}=\frac{AM}{PM}$和PM=CM．