Question

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，是否存在点P使得△PDQ是等边三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）待定系数法求解可得；
（2）根据解析式求得抛物线对称轴及顶点D的坐标（1，4），设点Q坐标为（1，m），根据等边三角形的性质得出点P在DQ中垂线y=$\frac{4+m}{2}$上，即可得点P的纵坐标，据此根据解析式表示出点P的横坐标x=1±$\sqrt{\frac{4-m}{2}}$，根据等边三角形的性质知∠DPF=30°，由tan∠DPF=$\frac{DF}{PF}$可得$\frac{\frac{4-m}{2}}{\sqrt{\frac{4-m}{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解之即可求得m的值，继而可得点P的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），
∴可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
将点C（0，3）代入得：-3a=3，
解得：a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3；

（2）存在，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点D的坐标为（1，4），
设点Q坐标为（1，m），

∵△PDQ是等边三角形，且底边DQ⊥x轴，
∴DQ的中垂线PF∥x轴，
∴点P的纵坐标y=$\frac{4+m}{2}$，
∵点P在函数y=-（x-1）²+4的图象上，
∴-（x-1）²+4=$\frac{4+m}{2}$，
解得：x=1±$\sqrt{\frac{4-m}{2}}$，
∴PF=1+$\sqrt{\frac{4-m}{2}}$-1=$\sqrt{\frac{4-m}{2}}$，DF=$\frac{4-m}{2}$，
∵△PDQ是等边三角形，
∴$∠DPF=\frac{1}{2}∠DPQ=30°$，
∴由tan∠DPF=$\frac{DF}{PF}$可得$\frac{\frac{4-m}{2}}{\sqrt{\frac{4-m}{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得：m=$\frac{10}{3}$，
当m=$\frac{10}{3}$时，y=$\frac{m+4}{2}$=$\frac{11}{3}$，x=1±$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{3±\sqrt{3}}{3}$，
∴点P的坐标为（$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$，$\frac{11}{3}$）或（$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，$\frac{11}{3}$）．

点评 本题主要考查二次函数的综合问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、直角三角形的应用是解题的关键．