Question

4．如图，已知菱形ABCD的边长为10，E为AB中点，对角线BD上有两个动点P，Q总保持PQ=2，若BD=16，则四边形AEPQ的周长最小值为（　　）

• A． 16
• B． 21
• C． 7+$\sqrt{85}$
• D． 7+$\sqrt{61}$

Answer 1

分析 将菱形ABCD放置在平面直角坐标系中，使得B为原点，BD在x的正半轴上，根据题意得出A、B、E三点的坐标，将A平行向左移动2个单位到A'点，作A'关于x轴的对称点F，则F（6，-6），连EF，交x轴于点P，在x轴上向正方向上截取PQ=2，此时四边形AEPQ的周长最小，AQ+EP=A'P+EP=FP+EP=EF，由此即可得出结论．

解答 解：如图所示：
将菱形ABCD放置在平面直角坐标系中，使得B为原点，BD在x的正半轴上，
∵菱形ABCD的边长是10，对角线BD=16，点E是AB的中点，
∴A（8，6），B（0，0），E（4，3），将A平行向左移动2个单位到A'点，则A'（6，6），作A'关于x轴的对称点F，则F（6，-6），连EF，交x轴于点P，在x轴上向正方向上截取PQ=2，
此时，四边形AEPQ的周长最小，
∵AE=$\frac{AB}{2}$=5，PQ=2，AQ+EP=A'P+EP=FP+EP=EF，
四边形四边形AEPQ的周长=5+2+$\sqrt{（4-6）^{2}+（3+6）^{2}}$=7+$\sqrt{85}$．
故选C．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．