Question

17．如图，矩形ABCD的周长是16，DE=2，△FEC是等腰三角形，∠FEC=90°，则AE的长是（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 设AE=x，由矩形的性质得出AB=CD，AD=BC=x+2，∠A=∠D=90°，得出CD=6-x，由已知条件得出EF=CE，∠DEC+∠AEF=90°，证出∠AFE=∠DEC，由AAS证明△AEF≌△DCE，得出AE=CD，即x=6-x，解方程即可．

解答 解：设AE=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC=x+2，∠A=∠D=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°，
∵矩形ABCD的周长是16，
∴CD=AB=$\frac{1}{2}$（16-2x-4）=6-x，
∵△FEC是等腰三角形，∠FEC=90°，
∴EF=CE，∠DEC+∠AEF=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
在△AEF和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}&{\;}\\{∠AFE=∠DEC}&{\;}\\{EF=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
∴AE=CD，
即x=6-x，
解得：x=3，
∴AE=3；
故选：A．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．