Question

6．如图，AB∥CD，PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，过P点作PM、PE交CD于M，交AB于E
（1）求证：PA⊥PC；
（2）当E、M在AB、CD上运动时，求∠3+∠4-∠1-∠2的值．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质由AB∥CD得到∠BAC+∠DCA=90°，再根据角平分线的定义得到∠PAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠PCA=$\frac{1}{2}$∠DCA，则∠PAC+∠PCA=90°，所以∠APC=90°；
（2）作PQ∥AB，根据平行线性质得到PQ∥CD，则∠APQ=180°-∠3-∠4，∠5=∠2，由于∠APQ+∠5+∠1=90°，则180°-∠3-∠4+∠2+∠1=90°，整理得到∠3+∠4-∠1-∠2=90°．

解答 （1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCA=90°，
∵PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，
∴∠PAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠PCA=$\frac{1}{2}$∠DCA，
∴∠PAC+∠PCA=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠DCA）=90°，
∴∠APC=90°，
∴PA⊥PC；

（2）解：②∠3+∠4-∠1-∠2不变正确．理由如下：作PQ∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
由AB∥PQ得∠APQ+∠3+∠4=180°，即∠APQ=180°-∠3-∠4，
由PQ∥CD得∠5=∠2，
∵∠APQ+∠5+∠1=90°，
∴180°-∠3-∠4+∠2+∠1=90°，
∴∠3+∠4-∠1-∠2=90°．

点评 本题考查了角平分线的性质，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．