Question

9．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA．
（1）求证：∠POA=2∠PCB；
（2）若OA=3，PA=4，求tan∠PCB的值．

Answer 1

分析 （1）根据切线长定理证明Rt△POA≌Rt△POB，再利用同弧所对的圆心角是圆周角的二倍可得结论；
（2）利用面积法求高线BE的长，利用勾股定理求OE，得CE的长，最后在Rt△OBE中，利用三角函数定义代入可得结果．

解答 证明：（1）连接OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴PA=PB，∠OBP=∠OAP=90°，
在Rt△POA和Rt△POB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{PO=PO}\end{array}\right.$，
∴Rt△POA≌Rt△POB（HL），
∴∠POA=∠POB，
∵∠POB=2∠PCB，
∴∠POA=2∠PCB；

（2）过B作BE⊥PC于E，
∵PB=PA=4，OB=OA=3，
∴PO=5，
∴$\frac{1}{2}$PO•BE=$\frac{1}{2}$OB•PB，
∴BE=$\frac{12}{5}$，
由勾股定理得：OE=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∴CE=OC+OE=3+$\frac{9}{5}$=$\frac{24}{5}$，
在Rt△OBE中，tan∠PCB=$\frac{BE}{CE}$=$\frac{\frac{12}{5}}{\frac{24}{5}}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了切线长定理、圆周角定理、三角形全等的性质和判定和勾股定理、三角函数，作辅助线构建直角三角形是第二问的关键，本题难度适中．