如图.在平面直角坐标系中.已知Rt△AOB的两直角边OA.OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上.且OA.OB的长满足|OA-8|+2=0.∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线.垂足为点D.交y轴于点E．(1)求线段AB的长,(2)求直线CE的解析式,(3)若M是射线BC上的一个动点.在坐标平面内是否存在点P.使以A.B.M.P为顶点的四边形是矩形?若存在.请直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．

如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA-8|+（OB-6）²=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．
（1）求线段AB的长；
（2）求直线CE的解析式；
（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据非负数的性质求得OA和OB的长，然后根据勾股定理求得AB的长；
（2）证明△ACD∽△AOB，则OC=CD，然后根据△ACD∽△AOB，利用相似三角形的对应边的比相等求得OC的长，从而求得C的坐标，然后根据CD⊥AB，求得AB的解析式，即可求得CE的解析式；
（3）根据勾股定理求出M点的坐标，进一步根据中点坐标公式求出P点的坐标．

解答解：（1）∵|OA-8|+（OB-6）2=0，
∴OA=8，OB=6，
在直角△AOB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10；
（2）∵BC平分∠ABO，
∴OC=CD，
设OC=x，则AC=8-x，CD=x．
∵△ACD和△ABO中，∠CAD=∠BAO，∠ADC=∠AOB=90°，
∴△ACD∽△AOB，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{OB}$，即$\frac{8-x}{10}=\frac{x}{6}$，
解得：x=3．
即OC=3，则C的坐标是（-3，0）．
设AB的解析式是y=kx+b，根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{-8k+b=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{k=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$
则直线AB的解析式是y=$\frac{3}{4}$x+6，
设CD的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x+m，则4+m=0，则m=-4．
则直线CE的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x-4；
（3）①当AB为矩形的边时，如图所示矩形AM₁P₁B，易知BC的直线方程为y=2x+6，
设M₁（m，2m+6），P₁（x，y），因为A（-8，0），B（0，6），则AM₁²=（m+8）²+（2m+6）²，=5m²+40m+100，BM₁²=m²+（2m+6-6）²=5m²，
AB=10，
根据AB²+AM₁²=BM₁²得100+5m²+40m+100=5m²，m=-5，
∴M₁（-5，-4），BM₁中点坐标为（-$\frac{5}{2}$，1），
BM₁中点同时也是AP₁中点，则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-8+x}{2}=-\frac{5}{2}}\\{\frac{0+y}{2}=1}\end{array}\right.$，解得P₁（3，2）
②当AB为矩形的对角线时，此时有AB²=AM₂²+BM₂²，即100=5m²+40m+100+5m²，m=-4或m=0（舍去），
∴M₂（-4，-2），AB中点坐标为（-4，3），
AB中点同时也是P₂M₂中点，则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-4+x}{2}=-4}\\{\frac{-2+y}{2}=3}\end{array}\right.$，解得P₂（-4，8）
综上可得，满足条件的P点的坐标为P₁（3，2）或P₂（-4，8）．