Question

11．菱形ABCD的对角线AC=6cm，BD=4cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF长为5cm或$\sqrt{73}$cm．

Answer 1

分析 作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，然后分正方形在AC的两边两种情况补成以BF为斜边的Rt△BGF，然后求出BG、FG，再利用勾股定理列式计算即可得解．

解答 解：∵AC=6cm，BD=4cm，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3cm，
BO=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×4=2m，
如图1，正方形ACEF在AC的上方时，过点B作BG⊥AF交FA的延长线于G，
BG=AO=3cm，
FG=AF+AG=6+2=8cm，
在Rt△BFG中，BF=$\sqrt{B{G}^{2}+F{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{8}^{2}}$=$\sqrt{73}$cm，
如图2，正方形ACEF在AC的下方时，过点B作BG⊥AF于G，
BG=AO=3cm，
FG=AF-AG=6-2=4cm，
在Rt△BFG中，BF=$\sqrt{B{G}^{2}+F{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5cm，
综上所述，BF长为5cm或$\sqrt{73}$cm．
故答案为：5cm或$\sqrt{73}$cm．

点评 本题考查了菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，难点在于分情况讨论并作辅助线构造出直角三角形，作出图形更形象直观．