Question

8．（1）如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边BC上一点，连接OE，过点O作OE的垂线交AB于点F．求证：OE=OF．
（2）若将（1）中，“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变，如图2，连接EF．
ⅰ）求证：∠OEF=∠BAC．
ⅱ）试探究线段AF，EF，CE之间数量上满足的关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接OB，更好正方形的性质得到OB=OA，∠OAB=∠OBA=∠OBC=45°，得到∠AOB=90°，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）①根据已知条件得到O，E，F，B四点共圆，由圆周角定理得到∠OBA=∠OEF，根据矩形的性质即可得到结论；②如图，连接BD，延长EO交AD于G于是到OG=OE，根据线段的垂直平分线的性质得到FG=EF，根据勾股定理即可得到结论．

解答 证明：（1）连接OB，
∵在正方形ABCD中，O是AC的中点，
∴OB=OA，∠OAB=∠OBA=∠OBC=45°，
∴∠AOB=90°，
又∵OE⊥OF，
∴∠AOF=∠BOE，
在△AOF和△BOE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=∠BOE}\\{OA=OB}\\{OAB=∠OBC}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△BOE，
∴OE=OF；

（2）①∵∠EOF=∠FBE=90°，
∴O，E，F，B四点共圆，
∴∠OBA=∠OEF，
∵在矩形ABCD中，O是AC的中点，
∴OA=OB，∠OAB=∠OBA，
∴∠OEF=∠BAC；
②如图，连接BD，延长EO交AD于G，
∵BD与AC交于O，
则△OGD≌△DEB，
∴OG=OE，
∴AG=CE，
∵OF⊥GE，
∴FG=EF，
在Rt△AGF中，GF²=AG²+AF²，即EF²=CE²+AF²．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．