Question

3．如图，直线y=2x-4分别交坐标轴于A、B两点，交双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）于C点，且sin∠COB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求双曲线的解析式；
（2）直线y=mx-4（m＞0）交x轴于D点，若直线AC将△AOD的面积分为1：2的两部分，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据直线y=2x-4分别交坐标轴于A、B两点，交双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）于C点，且sin∠COB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可以设出点C的坐标，得到∠COB的度数，从而可以求得点C的坐标，进而可以求得双曲线的解析式；
（2）根据题意可分别表示出△AOB和△ABD的面积，根据直线AC将△AOD的面积分为1：2的两部分，可知分两种情况，分别求出m的值即可．

解答 解：（1）设点C的坐标是（a，2a-4），
∵sin∠COB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠COB=45°，
∴tan∠COB=$\frac{2a-4}{a}=tan45°=1$，
解得，a=4，
∴点C为（4，4），
∵点C在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴4=$\frac{k}{4}$，得k=16，
即双曲线的解析式为：y=$\frac{16}{x}$；
（2）∵直线y=mx-4（m＞0）交x轴于D点，
∴点D的坐标是（$\frac{4}{m}$，0），
∵直线y=2x-4分别交坐标轴于A、B两点，
∴点A的坐标是（0，-4），B（2，0），
∵直线AC将△AOD的面积分为1：2的两部分，
∴$\frac{OB•OA}{2}：\frac{BD•OA}{2}=\frac{1}{2}$或$\frac{OB•OA}{2}：\frac{BD•OA}{2}=\frac{2}{1}$，
即$\frac{2×4}{2}：\frac{（\frac{4}{m}-2）•4}{2}=\frac{1}{2}$或$\frac{2×4}{2}：\frac{（\frac{4}{m}-2）•4}{2}=\frac{2}{1}$，
解得，m=$\frac{2}{3}$或m=$\frac{4}{3}$，
即m的值是$\frac{2}{3}$或$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答问题．