Question

12．如图，⊙O中，直径AB与弦CD相交，E是AC延长线上一点，连接BC、BD，且∠EBC=∠D．
（1）求证：EB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，且tanD=$\frac{1}{2}$，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）证明∠ABE=90°，可得EB是⊙O的切线；
（2）根据等角的三角函数设CE=x，则BC=2x，AC=4x，利用勾股定理列方程可求得CE的长．

解答 证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵∠EBC=∠D，∠A=∠D，
∴∠EBC=∠A，
∴∠EBC+∠ABC=90°，
即∠ABE=90°，
∴EB是⊙O的切线；
（2）∵∠EBC=∠A=∠D，
∴tan∠D=tan∠EBC=tan∠A=$\frac{1}{2}$，
设CE=x，则BC=2x，AC=4x，
在Rt△ACB中，AC²+BC²=AB²，
∴（4x）²+（2x）²=10²，
x=$±\sqrt{5}$，
∴CE=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的性质、三角函数、勾股定理，熟练掌握切线的常见的辅助线的作法：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．