Question

15．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△ADE，连接CE、BD、CE交BD于F，交AB于G．
（1）求证：CE=BD；
（2）求证：四边形ACFD为菱形；
（3）△GBF的面积是3-2$\sqrt{2}$（直接写出即可）．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质可知AD=AB，AE=AC，∠CAE=∠BAD=90°，从而可证明△ACE≌△ABD，于是得到CE=BD；
（2）由AC=AB，AC=AE，从而的到AE=AC，故此△AEC为等腰直角三角形，于是得到∠ACE=45°，由∠BAC=45°，得到∠AGC=90°，从而可证明AD∥EC，同理可证明DF∥AC，可知四边形ECFD是平行四边形，由AD=AC可知四边形ACFD为菱形；
（3）先证明△BGF为等腰直角三角形，在等腰直角三角形AGC中先求得AG=$\sqrt{2}$，从而得到BG的长，根据三角形的面积，可得答案．

解答 （1）证明：△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△ADE，
∴$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAE=BAD=90°}\\{AE=AD}\end{array}\right.$
△ACE≌△ABD  （SAS），
∴CE=BD；
（2）证明：∵△ACE为等腰直角三角形，∠BAC=45°
∴∠AGC=90°．
∵∠BAD=90°，
∴AD∥CF．
 同理 AC∥DF，
∴四边形ACFD是平行四边形．
∵AC=AD，
∴平行四边形ACFD为菱形；
（3）解：∵△ACE为等腰直角三角形，∠BAC=45°
∴∠AGC=90°，
AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠GBF=45°，
△GBF与△AGC均为等腰直角三角形
AG=GC=$\sqrt{2}$，
GF=GB=2-$\sqrt{2}$
∴S_△GBF=$\frac{1}{2}$（2-$\sqrt{2}$）²=3-2$\sqrt{2}$，
故答案为：3-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质，利用了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，三角形的面积．