Question

5．已知：关于x的一元二次方程x²-2（k-1）x+k²=0有两个实数根x₁，x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若|x₁+x₂|=x₁x₂-6，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k的取值范围；
（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k的值即可．

解答 解：（1）∵方程有实数根，
∴△=[2（k-1）]²-4k²≥0，
解得k≤$\frac{1}{2}$．

（2）由根与系数关系知：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2（k-1）}\\{{x}_{1}{x}_{2}={k}^{2}}\end{array}\right.$，
又|x₁+x₂|=x₁x₂-6，化简代入得|2（k-1）|=k²-6，
∵k≤$\frac{1}{2}$，
∴2（k-1）＜0，
∴-2（k-1）=k²-6，
解得k₁=-4，k₂=2（舍去）
∴k=-4．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．