Question

10．已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD．
（1）写出图中的相似三角形，并选择一对加以证明；
（2）若AE=5，EC=3，EF=4，BC=7，求DE、CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据DE∥BC，于是得到△ADE∽△ABC，根据EF∥CD，于是得到△AFE∽△ADC，根据平行线的性质得到∠ADE=∠B，∠EDC=∠DCB，∠FED=∠EDC，等量代换得到∠FED=∠DCB，于是得到结论；
（2）由DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，代入数据即可得到DE=$\frac{35}{8}$，同理得到CD=$\frac{32}{5}$．

解答 解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵EF∥CD，
∴△AFE∽△ADC，
∵DE∥BC，EF∥CD，
∴∠ADE=∠B，∠EDC=∠DCB，∠FED=∠EDC，
∴∠FED=∠DCB，
∴△FED∽△BCD，
∴图中的相似三角形有三对；

（2）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，
∵AE=5，EC=3，BC=7，
∴$\frac{5}{8}=\frac{DE}{7}$，
∴DE=$\frac{35}{8}$，
∵EF∥CD，
∴△AEF∽△ACD，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{EF}{CD}$，
∵AE=5，EC=3，EF=4，
∴$\frac{5}{8}=\frac{4}{CD}$，
∴CD=$\frac{32}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．